指数分布表达式

指数分布：描述独立随机事件时间间隔的连续概率分布

指数分布是一种连续概率分布，常用于描述独立随机事件的时间间隔。它有两种常见的参数化形式，我们可以分别看看它们是如何表现的。

一、速率参数λ（λ > 0）

在此参数化形式中，概率密度函数（PDF）如下：

f(x) = λe^-λx 对于x ≥ 0，否则为0。λ表示单位时间内事件发生的平均次数，即速率参数。期望值（均值）为 \frac{1}{λ}，方差为 \frac{1}{λ^2}。

二、均值参数β（β = 1/λ > 0）

在此形式中，概率密度函数为：f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}，同样，对于x ≥ 0时成立，否则为0。β表示事件的平均间隔时间，即均值参数。期望值和方差分别为β和β^2。

除了这两种参数化形式外，指数分布还有其他一些重要的性质：

累积分布函数（CDF）：对于x ≥ 0，CDF的值可以是F(x) = 1 - e^-λx 或 F(x) = 1 - e^{-x/β}。这表明指数分布的累积概率分布函数是一个指数函数，即事件间隔时间的累积概率随时间呈指数级下降。这也体现了指数分布的无记忆性：无论过去发生了什么，未来的事件间隔时间分布始终不变。无论事件间隔已经持续多久，剩余的时间间隔仍然遵循相同的指数分布。这对于预测设备寿命等场景非常有用。指数分布的众数在x = 0处取得最大值，而中位数则是根据λ或β的不同值进行计算。这些特性使指数分布在许多场景中都能找到应用，特别是在泊松过程中事件间隔时间的建模中。比如客户到达时间、设备寿命等场景都可以通过指数分布进行建模。由于它的恒定失效率特性（h(t) = λ），它在可靠性分析中也有着广泛的应用。在使用指数分布时，需要注意两种参数化形式的区别和联系，避免混淆。指数分布是一种非常有用的概率分布模型，能够广泛应用于各种场景。